Modèle de valeur doption binomiale. 08– Arbres Binomiaux Chapitre 12 Hull, 8 éd..

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Les résultats et les probabilités remontent dans l'arbre jusqu'à ce qu'une juste valeur de l'option soit calculée aujourd'hui. Pour les actions et les matières premières, l'application est la suivante. La première étape consiste à suivre l'évolution de la ou des variables sous-jacentes clés de l'option, en commençant par le prix au comptant d'aujourd'huide sorte que ce processus soit cohérent avec sa volatilité; On suppose généralement un mouvement brownien log-normal avec une volatilité constante.

Pour des raisons similaires, les options réelles et les options d'achat d'actions des employés sont souvent modélisées à l'aide d'un cadre en treillis, mais avec des hypothèses modifiées. Certaines options exotiquestelles que les options de barrièresont également facilement modélisées ici; pour les autres options dépendantes du cheminla simulation serait préférable.

Plus de 20 autres méthodes ont été développées, chacune "dérivée de diverses hypothèses" en ce qui concerne l'évolution du prix du sous-jacent. D'autres améliorations sont conçues pour assurer la stabilité par rapport à Black-Scholes lorsque le nombre de pas de temps change.

Pricing des options avec le modèle de Cox-Ross-Rubinstein en C++ – ephiQuant

Les modèles plus récents, en fait, sont conçus autour de la convergence directe vers Black-Scholes. La principale différence conceptuelle ici, étant que le prix peut également rester inchangé au fil du temps. En ce qui concerne le binôme, une gamme similaire bien que plus petite de méthodes existe. Le modèle trinomial est considéré comme produisant des résultats plus précis que le modèle binomial lorsque moins de pas de temps sont modélisés, et est donc utilisé lorsque la vitesse de calcul ou les ressources peuvent être un problème.

Pour les options exotiques, le modèle trinomial ou modèle de valeur doption binomiale adaptations est parfois plus stable et précis, quelle que soit la taille du pas.

Différents Grecs peuvent être estimés directement sur le réseau, où les sensibilités sont calculées en utilisant des différences finies. Le delta et le gammaqui sont des sensibilités de la valeur de l'option par rapport au prix, sont approximés compte tenu des différences entre les prix des options - avec leur spot associé - dans le même pas de temps. Deuxième pas de temps pour le trinôme, troisième pour le binôme. Selon la méthode, si le "facteur de baisse" n'est pas l'inverse du "facteur de hausse", cette méthode ne sera pas précise.

Pour rhosensibilité aux taux d'intérêt et vegasensibilité à la volatilité d'entrée, la mesure est indirecte, car la valeur doit être calculée une seconde fois sur un nouveau réseau construit avec ces entrées légèrement modifiées - et la sensibilité est également modèle de valeur doption binomiale ici via une différence finie.

Voir aussi Fugit - le temps estimé pour faire de l'exercice obtenir un script de bitcoins qui est généralement calculé à l'aide d'un treillis. Lorsqu'il est important d'incorporer le sourire de volatilitéou la surfacedes arbres implicites peuvent être construits. Ici, l'arbre est résolu de telle sorte qu'il reproduit avec succès tous les prix du marché, à travers diverses grèves et expirations.

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DKC est en fait un modèle de volatilité locale discrétisé. L'évaluation des options se déroule alors en standard, ces dernières étant remplacées par p. La solution ici est itérative par pas de temps par opposition à simultanée. Comme pour les R-IBT, la valorisation des options se fait alors par récursion arrière standard. Comme alternative, les arbres binomiaux Edgeworth permettent une asymétrie et un kurtosis spécifiés par l'analyste dans les rendements des prix au comptant; voir la série Edgeworth.

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Cette approche modèle de valeur doption binomiale utile lorsque le comportement du sous-jacent s'écarte modèle de valeur doption binomiale de la normalité. Pour la tarification des options américaines, une distribution finale générée par Edgeworth peut être combinée avec un R-IBT. Cette approche est limitée à l'ensemble des paires d'asymétrie et de kurtosis pour lesquelles des distributions valides sont disponibles.

Une proposition récente, celle des arbres binomiaux de Johnsonconsiste à utiliser le système de distribution de NL Johnsoncar il est capable d'accueillir toutes les paires possibles; voir la distribution Johnson SU.

Dérivés de taux d'intérêt Évaluation des options obligataires basée sur l'arbre: 0. Construisez un arbre des taux d'intérêt qui, comme décrit dans le texte, sera cohérent avec la structure actuelle des taux d'intérêt. Les treillis sont couramment utilisés pour évaluer les options obligatairesles swaptions et autres dérivés de taux d'intérêt.

Dans ces cas, l'évaluation est largement comme ci-dessus, mais nécessite une étape supplémentaire, zéro, de construction d'un arbre de taux d'intérêt, sur lequel le prix du sous-jacent est alors basé. La dernière étape, la valorisation des options, se déroule ensuite en standard. Voir à part. En ce qui concerne l'équité, des arbres trinomiaux peuvent également être utilisés pour ces modèles; c'est généralement le cas pour les arbres Hull-White.

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Ceux-ci, à leur tour, sont des fonctions de la des volatilité s des taux à terme. Une expression discrétisée "simple" de la dérive permet alors d'exprimer les taux vers l'avant dans un réseau binomial. Pour ces modèles fondés sur les taux à terme, en fonction des hypothèses de volatilité, le réseau pourrait ne pas se recombiner. Cela signifie qu'un "mouvement vers le haut" suivi d'un "mouvement vers le bas" ne donnera pas le même résultat qu'un "mouvement vers le bas" suivi d'un "mouvement vers le haut".

Une méthodologie d'arbre binomial de recombinaison est également disponible pour le modèle de marché Libor. En ce qui concerne les modèles de taux courts, modèle de valeur doption binomiale sont à leur tour classés plus en détail: ils seront soit basés sur l'équilibre Vasicek et CIRsoit sans arbitrage Ho-Lee et suivants.

Cette distinction: pour les modèles basés sur l'équilibre, la courbe de rendement est une sortie du modèle, tandis que pour les modèles sans arbitrage, la courbe de rendement est une entrée du modèle.

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L'arbre est alors construit en fonction de ces paramètres. Dans ce dernier cas, l'étalonnage se fait directement sur le treillis: l'ajustement est à la fois la structure par terme actuelle des taux d'intérêt c'est-à-dire la courbe des taux et la structure de volatilité correspondante. Ici, le calibrage signifie que l'arbre des taux d'intérêt reproduit les prix des obligations à coupon zéro - et de tout autre titre sensible aux taux d'intérêt - utilisés dans la construction de la courbe des taux ; notez le parallèle avec les arbres implicites pour l'équité ci-dessus et comparez zigzag pour les options binaires Bootstrapping finance.

Pour les modèles supposant une distribution normale comme Ho-Leel'étalonnage peut être effectué de manière analytique, tandis que pour les modèles log-normauxl'étalonnage se fait via un algorithme de recherche de racine ; voir la description encadrée sous le modèle Black — Derman — Toy. Une fois calibré, le treillis des taux d'intérêt est ensuite utilisé dans l'évaluation de divers instruments à revenu fixe et dérivés.

Pour les swaptions, la logique est presque identique, en remplaçant les swaps pour les obligations à l'étape 1, et les swaptions pour les options d'obligations à l'étape 2.

C'est en grande partie parce que le BOPM est basé sur la description d'un instrument sous-jacent sur une période de temps plutôt que sur un point unique. En conséquence, il est utilisé pour valoriser les options américaines exerçables à tout moment dans un intervalle donné ainsi que les options bermudiennes exerçables à des moments précis.

Et en notant que ces options ne sont pas mutuellement exclusives et qu'une obligation peut donc avoir plusieurs options intégrées; les titres hybrides sont traités ci-dessous. Pour d'autres dérivés de taux d'intérêt plus exotiquesdes ajustements similaires sont apportés aux étapes 1 et suivantes.

Une approche alternative à la modélisation des options obligataires américainesen particulier celles frappées sur le rendement à l'échéance YTMemploie des méthodes modifiées de treillis d'actions.

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La deuxième étape consiste ensuite à incorporer toute structure de terme de volatilité en construisant un arbre DKC correspondant basé sur chaque deuxième pas de temps dans l'arbre CRR: comme DKC est trinôme alors que CRR est binomialpuis en l'utilisant pour l'évaluation des options. Titres hybrides Les titres hybridesintégrant à la fois des caractéristiques de type actions et obligations, sont également évalués à l'aide d'arbres. En conséquence, des arbres jumeaux sont construits où l'actualisation est respectivement au taux sans risque et ajusté pour le risque de crédit, la somme étant la valeur de l'OC.

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Il existe d'autres méthodes qui combinent de la même manière un arbre de type équité avec un arbre à taux court. Une autre approche, publiée à l'origine par Goldman Sachsne découplait pas les composants, mais l'actualisation se fait à un taux d'intérêt sans risque et risqué pondéré en fonction de la probabilité de conversion dans un même arbre.

Plus généralement, les fonds propres peuvent être considérés comme une option d'achat sur l'entreprise: lorsque la valeur de l'entreprise est inférieure à la valeur de l'encours de la dette, les actionnaires choisiraient de ne pas rembourser la dette de l'entreprise; ils choisiraient de rembourser - et non de liquider c'est-à-dire d' exercer leur option - sinon.

Des modèles en treillis ont été développés pour l'analyse des actions ici, modèle de valeur doption binomiale particulier en ce qui concerne les entreprises en difficulté. De même, en ce qui concerne la tarification de la dette des entreprises, la relation entre la responsabilité limitée des actionnaires et les procédures potentielles au titre du chapitre 11 a également été modélisée par treillis.

Il existe cependant une exigence supplémentaire, en particulier pour les titres hybrides: c'est-à-dire d'estimer les sensibilités liées aux variations globales des taux d'intérêt. Pour une obligation avec une option incorporéeles calculs standards basés sur le rendement à l'échéance de la durée et de la convexité ne tiennent pas compte de la façon dont les variations des taux d'intérêt modifieront les flux de trésorerie en raison de l'exercice d'options.

Ici, comme pour rho et vega ci-dessus, l'arbre des taux d'intérêt est reconstruit pour un déplacement parallèle à la hausse puis à la baisse de la courbe des taux et ces mesures sont calculées numériquement compte tenu des changements correspondants de la valeur des obligations.

Les références Bibliographie David F. Babbel Évaluation des instruments financiers sensibles aux intérêts 1re éd.

John Wiley et fils.